Points cocycliques

Nous avons vu en classe que si 4 points A, B, C, D étaient disposés de telle façon que les triangles ABC et ABD soient rectangles, alors les points A, B, C et D étaient cocycliques. La condition "ABC et ABD rectangles" est donc suffisante pour que les points soient cocycliques.

Mais cette condition n'est pas nécessaire, puisqu'on peut trouver 4 points sur un cercle qui ne forment aucun angle droit...

Je voudrais trouver une condition nécessaire et suffisante pour que quatre points soient cocycliques. Pouvez-vous m'aider?

Vous trouverez ici :

http://perso.orange.fr/math.adam/images/cocycliques.html

...une figure interactive qui vous aidera peut-être à faire une conjecture : j'ai placé 4 points sur un cercle, et mesuré tous les angles et toutes les longueurs du quadrilatère ABCD.

Bien sûr, vous pouvez faire toutes les remarques que vous inspire la figure, même si vous n'avez pas la solution.

Tous les segments sont des cordes non?

Très bien, c'est vrai.

Mais comment peut-on reconnaître une corde si le cercle n'est pas tracé?...

En taçan un cercle autour?

normalement les cordes servent à trouver le centre d'un cercle non scratch

?

Oui, très bonne remarque Victor ! je n'y avais pas pensé.

Pouvez-vous expliquer comment on retrouve le centre d'un cercle à l'aide de ses cordes? Vous tenez une très bonne piste...

En traçan la médiatrice de tous les cotés non? Question

Très bien!

Pouvez-vous maintenant nous donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait un cercle qui passe par quatre points A, B, C, D ?

euh....Je n'ai pas très bien compris

voyez la figure ci-dessous :

http://perso.orange.fr/math.adam/images/cocycliques2.html

j'y ai tracé les médiatrices des quatre côtés du quadrilatère ABCD.

Il fau qu'il y ait au moin 2 angles droits?

il faut qu'il soit a égale distance d'un point

pour cela les médiatrices doivent se couper en leurs milieux et doivent de meme longueur

Fullmetal a écrit:: Il fau qu'il y ait au moin 2 angles droits?

Non. Il est tout à fait possible de trouver quatre points sur un cercle qui ne forment aucun angle droit.

thebss a écrit:: il faut qu'il soit a égale distance d'un point

pour cela les médiatrices doivent se couper en leurs milieux et doivent de meme longueur

Oui, il faut qu'il y ait un point équidistant des quatre points A, B, C, D.

Il me semble que vous avez la bonne idée, mais pourquoi diable parlez-vous de milieux et de longueurs de médiatrices, qui sont des droites?

Points cocycliques _