Tous les théorèmes que vous apprendrez au collège pourraient s'appeler "théorème d'Euclide"... puisqu'ils sont démontrés dans les Eléments.
L'ouvrage le plus important pour les mathématiques de l'Antiquité est l'ensemble des 13 livres des Elements d'Euclide (3e siècle avant JC) : il y est question de géométrie plane, de géométrie dans l'espace et d'arithmétique.
Voici ce qu'on rattache habituellement au nom d'Euclide :
- les axiomes d'Euclide : ce sont les propositions qui fondent la géométrie d'Euclide. Elles sont du style : "par un point donné il passe une et une seule parallèle à une droite donnée". Ces propositions ne sont pas démontrées, elles sont admises par Euclide comme des vérités premières. L'histoire de l'un de ces axiomes (le 5e axiome, celui qui est cité plus haut) est amusante : en lisant les Eléments, de nombreux mathématiciens des siècles suivants crurent qu'il pouvait être démontré à partir des quatre premiers axiomes : ils essayèrent de le démontrer, en vain. Ce n'est qu'au 19e siècle que le mathématicien russe Lobatchevski prouva que cet axiome n'était pas une conséquence des autres, en inventant une nouvelle géométrie, qui admettait les quatre premiers axiomes mais où le cinquième axiome était remplacé par le suivant : "par un point donné il passe une infinité de parallèles à une droite donnée, toutes différentes les unes des autres." Dans cette curieuse géométrie, la somme des angles d'un triangle ne vaut pas 180°, et le théorème de Pythagore est faux...
-la division euclidienne : c'est celle que vous avez apprise à l'école primaire, avec le quotient et le reste.
-l'algorithme d'Euclide : c'est une méthode pour trouver le plus grand diviseur commun à deux nombres entiers donnés, ou bien pour trouver le plus petit multiple commun, ce qui est bien commode pour réduire deux fractions au même dénominateur. Nous en parlerons peut-être.
-le lemme d'Euclide : un théorème sur les nombres entiers.
...et il y en a d'autres, sans doute...
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